题目内容
设定义在R上的函数f(x)=
,若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3个不同实数解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,则下列说法中错误的是( )
|
分析:关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3个解,则必然含有x=1这样一个解,另外2个则在分段函数的另一段里面,刚好它是个绝对值函数,可以提供2个不同自变量时为同一值.既然含有x=1的解,此时f(1)=1,我们知道另外2个值也是1的肯定也能满足方程,所以关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3个不同实数解时,f(x)=1,从而可得结论.
解答:解:分段函数的图象如图所示
由图可知,只有当f(x)=1时,它有三个根.
∵
=1时,x=-2或-4.
∴关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有且只有3个不同实数解时,
解分别是-4,-3,-2,且x1=-4,x2=-3,x3=-2,
∴x12+x22+x32=16+9+4=29,x1+x3=-6,
∵f(x)=1,∴1+a+b=0
∵a2-4b=a2+4a+4=(a+2)2≥0
∴D不正确
故选D.
由图可知,只有当f(x)=1时,它有三个根.
∵
1 |
|x+3| |
∴关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有且只有3个不同实数解时,
解分别是-4,-3,-2,且x1=-4,x2=-3,x3=-2,
∴x12+x22+x32=16+9+4=29,x1+x3=-6,
∵f(x)=1,∴1+a+b=0
∵a2-4b=a2+4a+4=(a+2)2≥0
∴D不正确
故选D.
点评:本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
练习册系列答案
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设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x+1)=-f(x)对任意的x都成立;②当x∈[0,1]时,f(x)=ex-e•cos
+m(其中e=2.71828…是自然对数的底数,m是常数).记f(x)在区间[2013,2016]上的零点个数为n,则( )
πx |
2 |
A、m=-
| ||
B、m=1-e,n=5 | ||
C、m=-
| ||
D、m=e-1,n=4 |