Question

下列说法中正确的命题代号为

 

．
①f（x）为奇函数，则f（0）=0；
②定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数；
③a，b，c都是不等于1的正数且ab≠1，则alogcb=blogca；
④定义在R上的函数f（x）若f（2）≠f（-2），则函数f（x）不是偶函数．

Answer 1

分析：利用奇函数、偶函数、单调增函数的定义和性质，以及指数式与对数式的互化，逐一分析检验各个选项，
判断他们的正确性．

解答：解：若0不在奇函数的定义域内，则f（0）无意义，故①不正确．
∵（-∞，0]∪[0，+∞）=R，f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，
∴f（x）在R上是单调增函数；故②正确．
令x=a

log

b c

，则  log_c^b=log_a^x，∴lgx=

lgb • lga

lgc

，
同理，令 y=b

log

a c

，log_c^a=log_b^y，∴lgy=

loa•lgb

lgc

，
∴lgx=logy，∴x=y，故 ③正确．
定义在R上的函数f（x）若是偶函数，则对定义域内的任何一个实数x，都有f（-x）=f（x），
故有f（2）=f（-2），若f（2）≠f（-2），则函数f（x）一定不是偶函数．故④正确．
综上，②③④正确，①不正确，
故答案为：②③④．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性的应用，指数式与对数式的互化．