Question

【题目】设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=﹣m（m＞0）的距离之比是一个常数 ．
（Ⅰ）求点M的轨迹；
（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（﹣2，0）的直线l1与曲线E交于不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设 =α ， =β ，α、β∈R，求α+β的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）过M作MH⊥l，H为垂足，
设M的坐标为（x，y），则丨OM丨= ，丨MH丨=丨x+m丨，
由丨OM丨= 丨MH丨，则 = 丨x+m丨，整理得： x2+y2﹣mx﹣ m2=0，
∴ ，
显然点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；
（Ⅱ）当m=1时，则曲线C的方程是： ，
故曲线E的方程是 ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），D（x3 ， y3），
=（1﹣x1 ， ﹣y1）， =（x3﹣1，y3）， =α ，则﹣y1=αy3 ，
则α= ，
当AD与x轴不垂直时，直线AD的方程为y= （x﹣1），即x= ，代入曲线E方程，
，整理得：（3﹣2x1）y2+2y1（x1﹣1）y﹣y12=0，y1y3=﹣ ，﹣ =3﹣2x1 ， 则α=3﹣2x，
当AD与x轴垂直时，A点的横坐标x1=1，α=1，
显然α=3﹣2x1也成立，
同理可得：β=3﹣2x2 ，
设直线l1的方程为y=k（x+2），代入 ，整理得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
由k≠0，则△=（8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，
解得：0＜k2＜ ，
由x1+x2=﹣ ，
则α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2（x1+x2）=14﹣ ，
∵α+β∈（6，10），
∴α+β的取值范围（6，10）
【解析】（Ⅰ）利用两点之间的距离公式，求得 = 丨x+m丨，整理即可求得点M的轨迹；（Ⅱ）当m=1时，求得E的方程，根据向量的坐标运算，求得α=3﹣2x，β=3﹣2x2 ， 设直线l1的方程为y=k（x+2）代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，则α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2（x1+x2），由韦达定理即可求得α+β的取值范围．