题目内容
【题目】随着节假日外出旅游人数增多,倡导文明旅游的同时,生活垃圾处理也面临新的挑战,某海滨城市沿海有三个旅游景点,在岸边
两地的中点处设有一个垃圾回收站点
(如图),
两地相距10
,从回收站
观望
地和
地所成的视角为
,且
,设
;
(1)用分别表示
和
,并求出
的取值范围;
(2)某一时刻太阳与三点在同一直线,此时
地到直线
的距离为
,求
的最大值.
【答案】(1)(2)
的最大值为10.
【解析】试题分析:(1)本题考查解三角形的实际应用,由图根据余弦定理,在中,
,又因为
,所以前面的表达式转化为
,同理,在
中,
,这样结合前面得到的等式,可以用
分别表示出
和
;(2)由于
,所以
的面积与
的面积相等,因此
的面积等于
,又
,于是可以将
转化为关于
的函数,即
,从而转化为求函数最大值.
试题解析:(1)在中,
,
,
由余弦定理得, ,
又,所以
①
在中,
,
由余弦定理得,
②
①+②得,
①-②得,
,
所以,即
,
又,即
,所以
.
(2),
故,
又,设
,
所以,
,
又,
,
在
上都是增函数;
所以, 在
上是增函数,
所以的最大值为
,即
的最大值为10.
(利用单调性定义证明在
上是增函数,同样给满分;如果直接说出
在
上是增函数,但未给出证明或讨论,扣1分)
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