Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=2，n≥2时，a_n=2²ⁿa_n-1+n•2${\;}^{{n}^{2}}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对等式a_n=2²ⁿa_n-1+n•2${\;}^{{n}^{2}}$两边同时除以${2}^{{n}^{2}+1}$可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n•（n+1）}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）•n}}$+$\frac{n}{2}$，利用累加法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=2²ⁿa_n-1+n•2${\;}^{{n}^{2}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{2}^{2n}{a}_{n-1}+n•{2}^{{n}^{2}}}{{2}^{{n}^{2}+1}}$，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n•（n+1）}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）•n}}$+$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）•n}}$=$\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{（n-2）•（n-1）}}$+$\frac{n-1}{2}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2•3}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1•2}}$+$\frac{2}{2}$，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n•（n+1）}}$$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1•2}}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{n（n+1）}{{2}^{2}}$，
∴a_n=2^n（n+1）•$\frac{n（n+1）}{{2}^{2}}$=n（n+1）•${2}^{{n}^{2}+n-2}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．