题目内容

【题目】如图,过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为的直线,分别交抛物线两点.

1)求抛物线的标准方程和准线方程;

2)若,证明:直线恒过定点.

【答案】1)抛物线的标准方程为,准线方程为;(2)证明见解析.

【解析】

1)设出抛物线的标准方程,将点坐标代入,进而可求出抛物线的标准方程;利用准线的计算方法,即可求出准线方程;

2)求出直线和直线的方程,分别与抛物线方程联立,求出点和点坐标,利用斜率公式求出直线的斜率,利用点斜式方程写出直线的方程,并借助,即可求得结果.

1)设抛物线的标准方程为

代入得,解得

所以抛物线的标准方程为,准线方程为.

2)证明:因为直线过点,斜率为

利用点斜式方程,可得直线的方程为,即

因为直线过点,斜率为

利用点斜式方程,可得直线的方程为,即

联立,消去y.

解得

因此点

同理可得.

于是直线的斜率

,又.

所以直线的方程为

故直线恒过定点.

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