Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣2．
（1）求a1 ， a2 ， a3并由此猜想an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣2，

当n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．

当n=2时，a1+a2=2a2﹣2，解得a2=4．

当n=3时，a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．

猜想：an=2n．

（2）解：当n=1时，显然猜想成立．

假设n=k时，猜想成立，即ak=2k．

则当n=k+1时，Sk+1=2ak+1﹣2．

∴Sk+ak+1=2ak+1﹣2，

∴2ak﹣2+ak+1=2ak+1﹣2，

∴ak+1=2ak=22k=2k+1．

∴当n=k+1时，猜想成立．

∴an=2n．

【解析】（1）分别令n=1，2，3代入条件式解出a1 ， a2 ， a3 ， 根据前三项的特点猜想通项公式；（2）先验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，利用条件式推导ak+1 ， 得出n=k+1时猜想成立．
【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示和数学归纳法的定义，需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．