Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，
当x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值．
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，
若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，
故a＜0不满足条件．
若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=elna﹣alna﹣a=﹣alna，
由f（lna）≥0得﹣alna≥0，
解得0＜a≤1．
综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．
【解析】（Ⅰ） 当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，由导数确定函数的单调性及极值；
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．