题目内容

15.已知:y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)过(0,-3)点且图象与x轴相邻两点为:($\frac{π}{6}$,0)($\frac{5π}{6}$,0),求A,ω,φ.(通过解三角方程)

分析 通过图象与x轴相交的两相邻点的坐标为$(\frac{π}{6},0)$和$(\frac{5π}{6},0)$,求出函数的周期,确定ω的值,利用图象经过点(0,-3).求出φ,即可求f(x)的解析式.

解答 解:可得f(x)的周期为$T=\frac{5π}{6}-\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}=\frac{π}{ω}$,
∴$ω=\frac{3}{2}$,
得$f(x)=Atan(\frac{3}{2}x+φ)$,它的图象过点$(\frac{π}{6},0)$,
∴$Atan(\frac{3}{2}•\frac{π}{6}+φ)=0$,
即$tan(\frac{π}{4}+φ)=0$,
∴$\frac{π}{4}+φ=kπ$,
得$φ=kπ-\frac{π}{4}$,又$|φ|<\frac{π}{2}$,
∴$φ=-\frac{π}{4}$,
于是$f(x)=Atan(\frac{3}{2}x-\frac{π}{4})$,它的图象过点(0,-3),
∴$Atan(-\frac{π}{4})=-3$,得A=3.
∴$f(x)=3tan(\frac{3}{2}x-\frac{π}{4})$;

点评 本题主要考查三角函数的图象,三角函数的周期,解析式的求法,三角不等式的解法,考查计算能力.

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