Question

【题目】在等腰中， ，腰长为， 、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点， ．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）

【解析】试题分析：（I）取中点，连结、，因为在等腰中，得到，

根据图象的翻折得到，进而证得平面，再根据是平行四边形，得，即可证明平面；（II）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，和平面B的一个方向法向量，根据法向量所成的角，即可得到结论.

试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结、，

因为在等腰中， ， ， 、分别是边、的中点，

所以，

又因为翻折后，所以翻折后，且

为等腰直角三角形，所以，

因为翻折后， ，且， 平面，因为，

平面， ，又， 平面，

又， ，且， 是平行四边形， ，

平面； …（3分）

（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系．

则， ， ， ， ，

设，则，

设平面的法向量为，则由，且，得，

取，则，

要使平面，则须，

所以，即线段上存在一点，使得平面，

…（9分）

设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取，则， ，

因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为，

即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），

使得平面，此时二面角的余弦值为…（12分）