Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2， ）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为 （a＞b＞0），
则c=2，a2﹣b2=c2 ， =1，解得：a2=8，b2=4．
可得椭圆C的方程为 =1；
（Ⅱ）如图，设F（x0 ， y0），E（﹣x0 ， ﹣y0），则 =1，A（﹣2 ，0），
AF所在直线方程y= （x+2 ），
取x=0，得y= ，
∴N（0， ），
AE所在直线方程为y= （x+2 ），
取x=0，得y= ．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0， ），
半径r= ，
圆的方程为x2+（y﹣ ）2= = ，即x2+（y+ ）2= ．
取y=0，得x=±2．
可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
可得在x轴上存在点P（±2，0），
使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．

【解析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为 （a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2 ， b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0 ， y0），E（﹣x0 ， ﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．