Question

9．对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的“不动点”：若f（f（x₀））=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”，如果函数f（x）=ax²+1（a∈R）的稳定点恰是它的不动点，那么a的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{4}]$
• B． $（-\frac{3}{4}，+∞）$
• C． $[-\frac{3}{4}，\frac{1}{4}]$
• D． $（-1，\frac{1}{4}]$

Answer 1

分析 x₀为函数f（x）的“不动点”，则方程f（x）=x，即ax²+1-x=0有实根，故△=1+4a≥0，得出a的范围，
由方程f（f（x））=x，化为：（ax²+1）²+1=x，即（ax²+1）²-x²+x²+a=x，利用平方差公式分解因式得，（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，由函数f（x）=x²+a（a∈R）的“稳定点”恰是它的“不动点”，得方程x²+x+a+1=0无实数根，再解出a的范围．

解答 解：x₀为函数f（x）的“不动点”，则方程f（x）=x，即ax²+1-x=0有实根，故△=1-4a≥0，∴a$≤\frac{1}{4}$，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根x₀为方程f（f（x））=x，即ax²+1=x的实根，
方程f（f（x））=x可化为：a（ax²+1）²+1=x，即a（ax²+1）²-ax²+ax²+1=x，利用平方差公式分解因式得，
∴a（ax²+1+x）（ax²+1-x）+（x²+a-x）=0，∴a（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，
∵函数f（x）=ax²+1（a∈R）的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程x²+x+a+1=0无实数根，
∴1-4（a+1）＜0，∴$a＞-\frac{3}{4}$，
综上，$\frac{1}{4}≥a＞-\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了二次方程根的相关知识．