Question

15．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：
①f（x）为奇函数；                    ②f（x）的一条对称轴为x=$\frac{π}{2}$；
③f（x）的最小正周期为π；             ④f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上单调递增；
⑤f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{2}$，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是①②④．

Answer 1

分析 先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π-x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（-π-x）后，得到与-f（x）的关系可判断⑤．

解答 解：函数f（x）=|cosx|•sinx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sin2x，-\frac{π}{2}+2kπ≤x≤\frac{π}{2}+2kπ}\\{-\frac{1}{2}sin2x，\frac{π}{2}+2kπ＜x≤\frac{3π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$（k∈Z），
①、f（-x）=|cos（-x）|•sin（-x）=-|cosx|•sinx=-f（x），
则f（x）是奇函数，①正确；
②、∵f（π-x）=|cos（π-x）|•sin（π-x）=|-cosx|•sinx=f（x），
∴f（x）的一条对称轴为x=$\frac{π}{2}$，②正确；
③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|-cosx|•（-sinx）=-f（x）≠f（x），
∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；
④、∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴f（x）=|cosx|•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，且2x∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上单调递增，④正确；
⑤、∵f（-π-x）=|cos（-π-x）|•sin（-π-x）=|-cosx|•sinx=f（x）≠-f（x），
∴f（x）的图象不关于点（-$\frac{π}{2}$，0）成中心对称，⑤不正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假性判断，以及三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用，属于中档题．