Question

13．已知圆C₁：x²+y²=4与圆C${\;}_{2}：（x-a）^{2}+（y-2）^{2}=4$相离．
（1）求实数a的取值范围
（2）是否存在过点（$\frac{5}{2}$，0）的直线m，使得圆C₂关于m对称的圆与C₁重合？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两圆相离，d＞r₁+r₂，列出不等式求出a的取值范围；
（2）假设存在过点（$\frac{5}{2}$，0）的直线m，满足条件，即两圆的圆心关于直线m对称，
求出a、k的值，即可得出直线m的方程．

解答 解：（1）∵圆C₁：x²+y²=4与圆C${\;}_{2}：（x-a）^{2}+（y-2）^{2}=4$相离，
∴$\sqrt{{a}^{2}{+2}^{2}}$＞2+2，
化简得a²＞12，
解得a＜-2$\sqrt{3}$或a＞2$\sqrt{3}$，
∴实数a的取值范围是{a|a＜-2$\sqrt{3}$或a＞2$\sqrt{3}$}；
（2）假设存在过点（$\frac{5}{2}$，0）的直线m，使得圆C₂关于m对称的圆与C₁重合，
显然直线m的斜率存在，可设为k，
则直线m的方程为y=k（x-$\frac{5}{2}$）；
且圆心O（0，0）关于直线m的对称点为（a，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（\frac{a}{2}-\frac{5}{2}）=1}\\{\frac{2}{a}=-\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{a=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{a=1}\end{array}\right.$（不合题意，应舍去）；
∴当a=4时，k=-2，直线m的方程为y=-2（x-$\frac{5}{2}$），
化为一般形式是2x+y-5=0．

点评 本题考查了两圆位置关系的应用问题，也考查了点关于直线对称的应用问题，是综合性题目．