题目内容
4.若函数f(x)=ex-ax2有三个不同零点,则a的取值范围( )A. | (1,$\frac{e}{2}$) | B. | ($\frac{e}{2}$,+∞) | C. | (1,$\frac{{e}^{2}}{4}$) | D. | ($\frac{{e}^{2}}{4}$,+∞) |
分析 可判断a>0,作函数y=ex与y=ax2的图象,从而转化问题为当x>0时,两图象有两个交点,再假设两图象至多有-个交点,则ex≥ax2恒成立,从而可得a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$;从而解得.
解答 解:当a≤0时,函数f(x)=ex-ax2>0恒成立,故a>0;
作函数y=ex与y=ax2的图象如图,
由图象可知,当x<0时,两图象必有一个交点,
故当x>0时,两图象有两个交点,
假设两图象至多有-个交点,则ex≥ax2恒成立,
即a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,
记F(x)=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,F′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-2)}{{x}^{3}}$,
故F(x)min=F(2)=$\frac{{e}^{2}}{4}$;
故a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$时,两图象至多有-个交点;
故若函数f(x)=ex-ax2有三个不同零点,则a>$\frac{{e}^{2}}{4}$;
故选D.
点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用.
练习册系列答案
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A. | (2,+∞) | B. | {0}∪(2,+∞) | C. | {0} | D. | [2,+∞) |