题目内容

4.若函数f(x)=ex-ax2有三个不同零点,则a的取值范围(  )
A.(1,$\frac{e}{2}$)B.($\frac{e}{2}$,+∞)C.(1,$\frac{{e}^{2}}{4}$)D.($\frac{{e}^{2}}{4}$,+∞)

分析 可判断a>0,作函数y=ex与y=ax2的图象,从而转化问题为当x>0时,两图象有两个交点,再假设两图象至多有-个交点,则ex≥ax2恒成立,从而可得a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$;从而解得.

解答 解:当a≤0时,函数f(x)=ex-ax2>0恒成立,故a>0;
作函数y=ex与y=ax2的图象如图,
由图象可知,当x<0时,两图象必有一个交点,
故当x>0时,两图象有两个交点,
假设两图象至多有-个交点,则ex≥ax2恒成立,
即a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,
记F(x)=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,F′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-2)}{{x}^{3}}$,
故F(x)min=F(2)=$\frac{{e}^{2}}{4}$;
故a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$时,两图象至多有-个交点;
故若函数f(x)=ex-ax2有三个不同零点,则a>$\frac{{e}^{2}}{4}$;
故选D.

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用.

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