题目内容
（2013•青岛一模）已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的焦距为2
，离心率为
，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．
（Ⅰ）若
•
=-6，求△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：
+
=
相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足
+
=t
（O为坐标原点），当|
-
|＜
时，求实数t的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）若
| AB |
| BF |
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 3 |
| OG |
| OH |
| OP |
| PG |
| PH |
2
| ||
| 3 |
分析：（Ⅰ）利用椭圆的简单性质求得它的标准方程，设A（x0，y0），由
•
=-6，求得A的坐标，由此求得三角形外接圆的半径，即可求得外接圆的方程．
（Ⅱ）由题意可知直线GH的斜率存在，把GH的方程代入椭圆，由判别式大于零求得k2＜
（*）．再由 |
-
|＜
，求得k2＞
，结合（*）得
＜k2＜
．根据
+
=t
，即（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），结合点P在椭圆上可得16k2=t2（1+2k2），从而求得实数t的取值范围．
| AB |
| BF |
（Ⅱ）由题意可知直线GH的斜率存在，把GH的方程代入椭圆，由判别式大于零求得k2＜
| 1 |
| 2 |
| PG |
| PH |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| OG |
| OH |
| OP |
解答：解：（Ⅰ）由题意知：c=
，e=
=
，又a2-b2=c2，
解得：a=
，b=
，∴椭圆C的方程为：
+
=1．…（2分）
可得：B(0，
)，F(
，0)，设A（x0，y0），则
=(-x0，
-y0)，
=(
，-
)，
∵
•
=-6，∴-
x0-
(
-y0)=-6，即y0=x0-
．
由
⇒
，或
，
即A(0，-
)，或A(
，
)…（4分）
①当A的坐标为(0，-
)时，|OA|=|OB|=|OF|=
，
∴△ABF外接圆是以O为圆心，
为半径的圆，即x2+y2=3．…（5分）
②当A的坐标为(
，
)时，kAF=1，kBF=-1，所以△ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB为直径的圆，
圆心坐标为(
，
)，半径为
|AB|=
，
∴△ABF外接圆的方程为(x-
)2+(y-
)2=
．
综上可知：△ABF外接圆方程是x2+y2=3，或(x-
)2+(y-
)2=
．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，椭圆N：即
+
=
，即
+y2 =1．
由题意可知直线GH的斜率存在，设GH：y=k（x-2），G（x1，y1），H（x2，y2），P（x，y），
由
得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0得：k2＜
（*）． …（9分）
由于 x1+x2=
，x1x2=
，∵|
-
|＜
，
∴|
|＜
，即
|x1-x2|＜
，∴(1+k2)[
-4×
]＜
，
∴k2＞
，再结合（*）得：
＜k2＜
．…（11分）
∵
+
=t
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）
从而x=
=
，y=
=
[k(x1+x2)-4k]=
．
∵点P在椭圆上，∴[
]2+2[
]2=2，整理得：16k2=t2（1+2k2），
即t2=8-
，∴-2＜t＜-
，或
＜t＜2，
即实数t的取值范围为 （-2，-
∪（
，2）．…（13分）
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
解得：a=
| 6 |
| 3 |
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 3 |
可得：B(0，
| 3 |
| 3 |
| AB |
| 3 |
| BF |
| 3 |
| 3 |
∵
| AB |
| BF |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
由
|
|
|
即A(0，-
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
①当A的坐标为(0，-
| 3 |
| 3 |
∴△ABF外接圆是以O为圆心，
| 3 |
②当A的坐标为(
4
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
圆心坐标为(
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
∴△ABF外接圆的方程为(x-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 5 |
| 3 |
综上可知：△ABF外接圆方程是x2+y2=3，或(x-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 5 |
| 3 |
（Ⅱ）由以上可得，椭圆N：即
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| x2 |
| 2 |
由题意可知直线GH的斜率存在，设GH：y=k（x-2），G（x1，y1），H（x2，y2），P（x，y），
由
|
由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0得：k2＜
| 1 |
| 2 |
由于 x1+x2=
| 8k2 |
| 1+2k2 |
| 8k2-2 |
| 1+2k2 |
| PG |
| PH |
2
| ||
| 3 |
∴|
| HG |
2
| ||
| 3 |
| 1+k2 |
2
| ||
| 3 |
| 64k4 |
| (1+2k2)2 |
| 8k2-2 |
| 1+2k2 |
| 20 |
| 9 |
∴k2＞
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∵
| OG |
| OH |
| OP |
从而x=
| x1+x2 |
| t |
| 8k2 |
| t(1+2k2) |
| y1+y2 |
| t |
| 1 |
| t |
| -4k |
| t(1+2k2) |
∵点P在椭圆上，∴[
| 8k2 |
| t(1+2k2) |
| -4k |
| t(1+2k2) |
即t2=8-
| 8 |
| 1+2k2 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
即实数t的取值范围为 （-2，-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，求圆的标准方程得方法，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的运算，属于中档题．
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