题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
是
中点.
(1)求点到平面
的距离;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据勾股定理可证明平面
,从而可分别以
为
轴、
轴,
轴,建立空间直角坐标系,先求
的方向向量,再出利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面
的一个法向量,从而可得线面成角的正弦值,进而可得结果;(2)利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面
的一个法向量,结合(1)的结论,利用空间向量夹角余弦公式可得二面角
的余弦值.
试题解析:∵正方形边长,
∴,∴
,∴
平面
,
∴分别以为
轴、
轴,
轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
∴,
(1)设平面的一个法向量
,
则,令
,得
,
∴与平面
所成角的正弦值
,
∴点到平面
的距离为
;
(2)设平面的一个法向量
,
则,令
,得
,
∴,∴二面角
的余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角,属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目