Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+a．
（1）若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；
（2）设m＞0，当x∈[m，2m]时，求f（x）的最小值；
（3）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，

∴此时y=2e，即切点坐标为（e，2e），

则切点也在函数f（x）上，则f（e）=elne+a=e+a=2e，

则a=e，

（2）解：函数的导数f′（x）=lnx+1，

由f′（x）＞0得x＞ ，由f′（x）＜0得0＜x＜ ，

即函数在（ ，+∞）上为增函数，在（0， ）上为减函数，

①当2m≤ ，即m≤ 时，f（x）min=f（2m）=2mln2m+a，

②当m＜ ＜2m，即 ＜m＜ 时，f（x）min=f（ ）=﹣ +a，

③当m≥ 时，f（x）min=f（m）=mlnm+a

（3）证明：令x= ，则x＞ ，

由（2）知，xlnx+a≥﹣ +a，

即xlnx≥﹣ ，当x= 时，取等号，

∴ ln= ＞﹣ ，则﹣ln ＞﹣ ，即e ＜ ，即ln（1+ ）e＜1+ ，

∴ ．

【解析】（1）求出切点坐标，代入函数进行求解即可．（2）求好的导数，判断函数的单调性进行求解即可．（3）令x= ，利用（2）的结论，构造不等式进行证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．