Question

【题目】如图，正方形所在平面与三角形所在平面互相垂直，且， .

（1）求证： 平面；

（2）若， ，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）在上取一点，使,根据平几知识可得为平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面法向量，根据向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线与平面所成的角的正弦值.

试题解析：（1）在上取一点，使,连接.

由已知,在中， ，

所以且.

又在正方形中， ，

所以且.

所以且.

所以，四边形为平行四边形.

所以.

又平面， 平面 平面.

（2）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴，以过垂直于的直线为轴，建

立如图所示的空间直角坐标系.

设，则, , ， ,,,

所以,,.

设平面的一个法向量，则，即，

不妨令，得，

设直线与平面所成的角为，则

.

所以直线与平面所成的角正弦值为.