Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为实数集R，及整数k、T；
（1）若函数f（x）=2xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x），且f（x）=axφ（x）（其中a为正的常数），试证明：函数φ（x）为周期函数；
（3）若f（x+6）= f（x），且当x∈[﹣3，3]时，f（x）= （x2﹣9），记Sn=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n﹣2），n∈N+ ， 求使得S1、S2、S3、…、Sn小于1000都成立的最大整数n．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x+2）=2x+2sin（π（x+2））=4×2xsin（πx）=4f（x），

∴f（x+2）=4f（x）．

（2）证明：设k=aT，a=k﹣T．而φ（x）=a﹣xf（x），

∴φ（x+T）=a﹣x﹣Tf（x+T）=a﹣x﹣TaTf（x）=a﹣xf（x）=φ（x），

∴φ（x）是以T为周期的周期函数

（3）解：取n=3k（k∈N*），令Sn=Rk．则Rk=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣6）+f（12k﹣2），

又f（0）=0．而f（x+6）= f（x），

∴f（6k）=0，又Rk=f（2）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣2），

而f（2）=﹣1，f（10）= f（4）=2f（﹣2）=2．

又f（12（k+1）﹣10）+f（12（k+1）﹣2）=2[f（12k﹣10）+f（12k﹣2）]，

∴数列{f（12k﹣10）+f（12k﹣2）}是以f（2）+f（10）=1为首项，2为公比的等比数列，

∴Rk=2k﹣1，

由Rk＜1000，解得9＜k＜10，即n=28，29．

当n=28时，f（110）＜0；n=29时，f（114）=0．

∴满足条件的最大正整数n=29

【解析】（1）代入计算即可证明．（2）设k=aT ， a=k﹣T ． 而φ（x）=a﹣xf（x），可得φ（x+T）=φ（x），即可证明．（3）取n=3k（k∈N*），令Sn=Rk ． 则Rk=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣6）+f（12k﹣2），又f（0）=0．而f（x+6）= f（x），可得f（6k）=0，而f（2）=﹣1，f（10）=2．可得：f（12（k+1）﹣10）+f（12（k+1）﹣2）=2[f（12k﹣10）+f（12k﹣2）]，利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．