Question

18．已知正三棱锥的高为3cm，一个侧面三角形的面积为6$\sqrt{3}$cm²，则这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角的大小是60°．

Answer 1

分析 设正三棱锥为S-ABC，底面为正三角形，高OS，O点为△ABC外（内心、重心），延长CO交AB于D，易证AB⊥CD，SD⊥AB，则∠CDS是正三棱锥的侧面和底面所成的二面角，在三角形CDP中求出此角即可．

解答 解：设正三棱锥为S-ABC，底面为正三角形，高OS，O点为△ABC外（内心、重心），延长AO交BC于D，
设底面边长为：a，则OD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$．
SO=3，SD=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{{a}^{2}}{12}}$，侧面三角形的面积为6$\sqrt{3}$cm²，
∴$\frac{1}{2}a•\sqrt{9+\frac{{a}^{2}}{12}}=6\sqrt{3}$，解得a=6．
SD=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$，AD⊥CB，SD⊥BC，∠SDO是S-BC-A二面角的平面角，
cos∠SDO=$\frac{1}{2}$，∠CDP=60°，侧面与底面所成的二面角是60°．
故答案为：60°．

点评 本题主要考查了二面角的平面角及求法，同时考查了正三棱锥的性质，解题的关键是寻找二面角的平面角，属于基础题．