题目内容
【题目】已知向量 =(m,﹣1), =( )
(1)若m=﹣ ,求 与 的夹角θ;
(2)设 . ①求实数m的值;
②若存在非零实数k,t,使得[ +(t2﹣3) ]⊥(﹣k +t ),求 的最小值.
【答案】
(1)解:向量 =(m,﹣1), =( ),若m=﹣ , 与 的夹角θ,
则有cosθ= = =﹣ ,∴θ=
(2)解:①设 ,则 = ﹣ =0,∴m= .
②由①可得, =( ,﹣1), = ﹣ =0,
若存在非零实数k,t,使得[ +(t2﹣3) ]⊥(﹣k +t ),故有[ +(t2﹣3) ](﹣k +t )=0,
∴﹣k +[﹣k(t2﹣3)+t] +t(t2﹣3) =﹣k4+0+t(t2﹣3)=0,∴4k=t(t2﹣3),
∴ = +t= = ≥﹣ ,当且仅当t=﹣2时,取等号,
故 的最小值为﹣ .
【解析】(1)由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ= 的值,可得θ的值.(2)①利用两个向量垂直的性质,求得m的值.②根据[ +(t2﹣3) ](﹣k +t )=0,求得4k=t(t2﹣3),从而求得 = ,再利用二次函数的性质求得它的最小值.
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