已知向量$\overrightarrow{m}$=(2cosx+2$\sqrt{3}$sinx.1).向量$\overrightarrow{n}$=.且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．(Ⅰ)将y表示为x的函数f的单调递增区间,(Ⅱ)已知A.B.C分别为△ABC的三个内角.若f=3.且sinBsinC=$\frac{3}{4}$.试判� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），向量$\overrightarrow{n}$=（cosx，-y），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知A，B，C分别为△ABC的三个内角，若f（$\frac{A}{2}$）=3，且sinBsinC=$\frac{3}{4}$，试判断△ABC的形状．

分析（Ⅰ）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=3可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，结合A范围可求A，C=$\frac{2π}{3}$-B，由sinBsinC=$\frac{3}{4}$利用三角函数中的恒等变换应用可得sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，又由-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$$＜\frac{7π}{6}$，可得2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，从而得解B，C的值，可得△ABC为等边三角形．

解答（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，可得2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-y=0，即有：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=3，
∴2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1=3，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0＜A＜π，∴可求A=$\frac{π}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
由sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
⇒sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{3}{4}$，
⇒sinB（sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）=$\frac{3}{4}$，
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}sinBcos\\;B+\frac{1}{2}si{n}^{2}B=\frac{3}{4}$B$+\frac{1}{2}si{n}^{2}B=\frac{3}{4}$，
⇒$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B+$\frac{1}{4}（1-cos2B）=\frac{3}{4}$，
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B-$\frac{1}{2}$cos2B=1
⇒sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1
又∵-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$$＜\frac{7π}{6}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{3}$，△ABC为等边三角形…12分