题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,直线l:y=x+2与原点为圆心,以椭圆C的短轴长为直径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点.设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.如果存在,求出实数m的取值范围,如果不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点.设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.如果存在,求出实数m的取值范围,如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由e2=
=
,得a2=2b2,…(3分)
∵直线y=x+2与圆x2+y2=b2相切,
∴
=b,解得b=
,则a2=4.(5分)
故所求椭圆C的方程为
+
=1.(6分)
(Ⅱ)在x轴上存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.…(7分)
理由如下:
设l1的方程为y=kx+2(k>0),
由
,得(1+2k2)x2+8kx+4=0
∵直线l1与椭圆C有两个交点,
∴△=64k2-16(1+2k2)=16(2k2-1)>0
∴k2>
,
又∵k>0,∴k>
.
设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=
.(9分)
∴
+
=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2)
=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4),
=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)).
由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则(
+
)•
=0.(10分)
∴(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0.
故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0.
即(x2-x1)[(1+k2)(x1+x2)+4k-2m]=0
∵k>0,∴x2-x1≠0,
∴(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,
∴(1+k2)(
)+4k-2m=0,解得m=
设y=
+2k,当k>
时,y′=-
+2=
>0,
∴函数y=
+2k在(
,+∞)上单调递增,
∴y>
+2×
=2
,(12分)
∴m=
>
=-
(13分)
1 |
2 |
a2-b2 |
a2 |
∵直线y=x+2与圆x2+y2=b2相切,
∴
2 | ||
|
2 |
故所求椭圆C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
2 |
(Ⅱ)在x轴上存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.…(7分)
理由如下:
设l1的方程为y=kx+2(k>0),
由
|
∵直线l1与椭圆C有两个交点,
∴△=64k2-16(1+2k2)=16(2k2-1)>0
∴k2>
1 |
2 |
又∵k>0,∴k>
| ||
2 |
设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=
-8k |
1+2k2 |
∴
PG |
PH |
=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4),
GH |
由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则(
PG |
PH |
GH |
∴(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0.
故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0.
即(x2-x1)[(1+k2)(x1+x2)+4k-2m]=0
∵k>0,∴x2-x1≠0,
∴(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,
∴(1+k2)(
-8k |
1+2k2 |
-2 | ||
|
设y=
1 |
k |
| ||
2 |
1 |
k2 |
2k2-1 |
k2 |
∴函数y=
1 |
k |
| ||
2 |
∴y>
1 | ||||
|
| ||
2 |
2 |
∴m=
-2 |
y |
-2 | ||
2
|
| ||
2 |
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