题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
,直线l:y=x+2与原点为圆心,以椭圆C的短轴长为直径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点.设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.如果存在,求出实数m的取值范围,如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)e2=
1
2
=
a2-b2
a2
,得a2=2b2
,…(3分)
∵直线y=x+2与圆x2+y2=b2相切,
2
2
=b
,解得b=
2
,则a2=4.(5分)
故所求椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1
.(6分)
(Ⅱ)在x轴上存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.…(7分)
理由如下:
设l1的方程为y=kx+2(k>0),
x2
4
+
y2
2
=1
y=kx+2
,得(1+2k2)x2+8kx+4=0

∵直线l1与椭圆C有两个交点,
∴△=64k2-16(1+2k2)=16(2k2-1)>0
k2
1
2

又∵k>0,∴k>
2
2

设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=
-8k
1+2k2
.(9分)
PG
+
PH
=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)
=(x1+x2-2m,y1+y2
=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4),
GH
=(x2-x1y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1))

由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则(
PG
+
PH
)•
GH
=0
.(10分)
∴(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0.
(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0
(x2-x1)[(1+k2)(x1+x2)+4k-2m]=0
∵k>0,∴x2-x1≠0,
∴(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,
(1+k2)(
-8k
1+2k2
)+4k-2m=0,解得
m=
-2
1
k
+2k

设y=
1
k
+2k
,当k>
2
2
时,y′=-
1
k2
+2=
2k2-1
k2
>0

∴函数y=
1
k
+2k
(
2
2
,+∞)
上单调递增,
y>
1
2
2
+2×
2
2
=2
2
,(12分)
m=
-2
y
-2
2
2
=-
2
2
(13分)
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