题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线方程是
,求函数
在
上的值域;
(2)当时,记函数
,若函数
有三个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1); (2)
.
【解析】
(1)因为,
所以,所以
,
所以,即
.
,
,
,
所以在
上的值域为
.
(2)(i)当时,
,由
,得
,此时函数
有三个零点,符合题意.
(ii)当时,
.由
,得
.当
时,
;当
时,
.若函数
有三个零点,则需满足
且
,解得
.
(iii)当时,
.由
,得
,
.
①当,即
时,因为
,此时函数
至多有一个零点,不符合题意;
②当,即
时,因为
,此时函数
至多有两个零点,不符合题意;
③当,即
时,
若,函数
至多有两个零点,不符题意;
若,得
,因为
,所以
,此时函数
有三个零点,符合题意;
若,得
,由
,记
,则
,所以
,此时函数
有四个零点,不符合题意.
综上所述:满足条件的实数.
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