题目内容
【题目】已知动圆过点
，且在
轴上截得的弦长为4．
（1）求动圆圆心
的轨迹方程；
（2）过点
的直线
与曲线交于点
，
，与轴交于点
，设
，
，求证：
是定值．
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）设动圆心C（x，y），利用半径相等可得：
，化简即可得出动圆圆心C的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为：x＝ty+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣4ty﹣8＝0．利用根与系数的关系、向量坐标运算性质即可得出．
（l）设动圆圆心
坐标为
，
由题意得：动圆半径
，圆心到
轴的距离为
.
所以
，
化简得：，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
（2）设直线
的方程为
，
代入，得
.
设
，
，
则
，
.
由
，所以
，
.
因为
，所以
，
所以
.
同理可得，
，
所以
.
即
是定值.
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