Question

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)，证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，

整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·，即＝2，∴数列是等比数列．

(2)由(1)知：＝4·(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋1)·＝4an(n≥2)．又a2＝3S1＝3，∴S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，∴对一切n∈N*，都有Sn＋1＝4an.