题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面为直角梯形， 
， 
， 
，且
， 
， 
是
的中点。
（Ⅰ）求证： 
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明面面垂直，只需利用两平面法向量垂直，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积为零得证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积求夹角，再根据二面角夹角与向量夹角关系得二面角
的余弦值
试题解析：
证明：（Ⅰ）以
为坐标原点
长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为
， 
， 
， 
， 
， 
，则
， 
，故
，所以
，由题设知
，且
与
是平面
内的两条相交直线，由此得
,又
在平面
内,故平面
。
（Ⅱ）在
上取一点
，则存在
，使
，连接
， 
， 
，所以
， 
， 
。要使
，只要
，即
，解得
。可知当
时， 
点坐标为
，能使
，此时， 
， 
，所以
。由
， 
， 
，所以
，故所求二面角的余弦值为
。
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