题目内容
3.数列{an},a${\;}_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$,其前n项和为Sn,求证:S${\;}_{2n}<\frac{\sqrt{2}}{2}$.分析 推出S2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$.放缩相加即得结论.
解答 证明:∵an=$\frac{(-1)^{n+1}}{n}$,
∴S2n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$
=(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$)-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$)
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$.
∴S2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$=n•$\frac{1}{\sqrt{2}n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
即有S${\;}_{2n}<\frac{\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查数列的求和,考查数学归纳法,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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14.函数f(x)=3x+2x-$\frac{1}{2}$的零点所在的大致区间是 ( )
A. | (-2,-1) | B. | (-1,0) | C. | (0,1) | D. | (1,2) |
3.在0到2π得范围内,与角$\frac{22π}{5}$终边相同的角为( )
A. | $\frac{2π}{5}$ | B. | $\frac{3π}{5}$ | C. | $\frac{4π}{5}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |