题目内容
【题目】已知在中,两直角边
,
的长分别为
和
,以
的中点
为原点,
所在直线为
轴,以
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系,椭圆
以
,
为焦点,且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线:
与
相交于
,
两点,在
轴上是否存在点
,使得
为等边三角形,若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
或
【解析】
(1)由题意,得到椭圆的定义求得的值,再结合
的关系,求得
,即可得到椭圆的标准方程;
(2)假设存在轴上存在点
点,由题意联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式,求得点P的坐标,进而求出弦长,再根据C到弦AB的中点P的距离为弦长的
倍,结合
,求得C的坐标,进而求得
的值.
(1)由题意,根据椭圆的定义,可得,
所以,又
,
又,又焦点在x轴上,
故所求椭圆方程为.
(2)假设在轴上存在点
,使得
为正三角形.
设,线段AB的中点为
,则
.
又,整理得
,
则,解得
,
又
所以,
,
即,则
,
令,则
,即
,
,
所以,
解得,满足条件
所以在轴上存在点
,使得
为正三角形.
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