题目内容

设二次函数f（x）=ax²-4bx+c（b＞0），若对任意的x∈R恒有f（x）≥0成立，且其导函数f′（x）满足f′（0）＜0，则 $数学公式$ 的最大值等于________．

0
分析：先根据二次函数f（x）=ax²-4bx+c≥0恒成立得出关于a，b，c的不等关系，又导函数f′（x）=2ax-4b，满足f′（0）＜0，得出b的范围，最后利用基本不等式即可求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
解答：∵二次函数f（x）=ax²-4bx+c，
∴f（x）≥0恒成立，? $\text{[math]}$ ，? $\text{[math]}$ ，
又导函数f′（x）=2ax-4b，满足f′（0）＜0，∴-4b＜0，即b＞0，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2-（ $\text{[math]}$ ）≤2-2 $\text{[math]}$ ≤2-2=0，
$\text{[math]}$ 的最大值等于0．
故答案为：0．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题、导数的运算、基本不等式等基础知识，属于基础题．

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．
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