Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+x﹣k（x﹣1）在（1，+∞）内有唯一零点x0 ， 若k∈（n，n+1），n∈Z，则n= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：∵f（x）=xlnx+x﹣k（x﹣1），x∈（1，+∞），

∴f′（x）=1+lnx+1﹣k=lnx+2﹣k，

当k≤2时，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，且f（x）＞f（1）=1，

∴f（x）在（1，+∞）上没有零点，

当k＞2时，令f′（x）＞0，解得x＞ek﹣2，函数f（x）单调递增，

令f′（x）＜0，解得1＜x＜ek﹣2，函数f（x）单调递减，

∴f（x）min=f（ek﹣2）=（k﹣2）ek﹣2+ek﹣2﹣kek﹣2+k=﹣ek﹣2+k，

∵f（x）=xlnx+x﹣k（x﹣1）在（1，+∞）内有唯一零点x0，

∴f（x0）=f（ek﹣2）=0，

即﹣ek﹣2+k=0，

令g（k）=﹣ek﹣2+k，k＞2．

∴g′（k）=﹣ek﹣2＜0恒成立，

∴g（k）在（2，+∞）上单调递减，

∵g（3）=﹣e+3＞0，g（4）=﹣e2+4＜0，

∴g（3）g（4）＜0，

∴k∈（3，4），

∵k∈（n，n+1），n∈Z，

∴n=3，

所以答案是：3．