Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）f（1）≤0；②g（0）g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值． 正确结论的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减， 但f（0），f（1）的符号不能确定，
故①f（0）f（1）≤0不一定正确；
由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
故g（0）≤0，且g（1）≤0，
故②g（0）g（1）≥0一定正确；
此时3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，
故△=4a2﹣12b＞0，
即a2﹣3b＞0，
但a2﹣3b不一定有最小值，
故③不一定正确；
故选：B
【考点精析】认真审题，首先需要了解命题的真假判断与应用(两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系)．