题目内容
【题目】如图，
是一个三棱锥，
是圆的直径，
是圆上的点，
垂直圆所在的平面，
，
分别是棱
，的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若二面角
是
，
，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）可证
，
，再利用
可得
，
，从而可证
平面
.
（2）可证
为二面角
的平面角，再以
为坐标原点，
，
，
方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
. 求出平面
的法向量和直线
的方向向量后可求与平面所成角的正弦值.
（1）因为
是圆的直径，所以.
因为
垂直圆所在的平面，且
在该平面中，所以.
因为
，
分别是棱
，的中点，
所以，所以，
又因为
，所以有平面.
（2）由（1）可知，
，
，
所以为二面角的平面角，
从而有
，则
.
又，
，得
.
以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设
是平面的法向量，则
即
可取
.
故
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如下表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为
.
分数 |
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频数 | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 |
| 50 |
（1）求
的值；
（2）若按照分层抽样的方法从成绩在
、
的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在的概率.
【题目】某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用
表示活动推出的天数，
表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
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（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第
天使用扫码支付的人次；
（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式 | 现金 | 会员卡 | 扫码 |
比例 |
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商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受
折优惠的概率为
，享受折优惠的概率为
，享受
折优惠的概率为
．现有一名顾客购买了
元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？
参考数据：设
，
，
，
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．