题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的最大值;
(2)若只有一个极值点
.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(1) 最大值为-1. (2) (i)(ii)证明见解析
【解析】
(1)当时,
,令
,利用导数求得函数的单调性,即可求得函数的最大值;
(2)由,得到
,分
和
讨论,求得函数的单调性与最值,结合函数的性质,即可得到答案.
(1)当时,
,
.
令,则
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减
∴,故
的最大值为-1.
(2),
.
①当时,
在
恒成立,则
在
单调递增.
而,当
时,
,
则,且
,∴
使得
.
∴当时,
,则
单调递减;
当时,
,则
单调递增,∴
只有唯一极值点
.
②当时,
当时,
,则
单调递增;
当时,
,则
单调递减,∴
.
(i)当即
时,
在
恒成立,则
在
单调递减,无极值点,舍去.
(ii)当即
时,
.
又,且
,∴
使得
.
由(1)知当时,
,则
∴
则,且
,∴
使得
.
∴当时,
,则
单调递减;
当时,
,则
单调递增;
当时,
,则
单调递减.
∴有两个极值点
,
,舍去.
综上,只有一个极值点时,
∵,∴
,
∴,
.
令,∴
,则
在
单调递减
∴当时,
,∴
.
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练习册系列答案
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.
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