Question

【题目】若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：∵函数f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），
∴当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2）上单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）有极大值，f（0）=1，
当x=2时，f（x）有极小值，f（2）=23﹣3×22+1=﹣3，
∵当f（x）=1时，x=0或x=3，
当f（x）=﹣3时，x=2或x=﹣1，
∴若﹣3≤f（x）≤1，则﹣1≤x≤3．
∴定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是1﹣（﹣3）=4．
所以答案是：4．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．