Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）若函数存在极值点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对求导，将代入中，即得到切线的斜率，而两直线垂直，则两个斜率相乘为-1，解出a的值；第二问，先对求导，由于导数中有参数a，则讨论和两种情况，由于的解集为增区间， 的解集为减区间，计算单调区间，利用函数的单调性判断极值点的位置，令极值点的横坐标在之间，解不等式，解出a的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由于， （2分）

又 ． （4分）

（Ⅱ），

①当时， ，函数在上单调递增，无极值； （6分）

②当时，令即，

，

时，函数单调递增； 时，函数单调递减， （8分）

故是的极大值点．依题意： ， （10分）

解得： ，综上所述， 的取值范围为． （12分）