题目内容
【题目】已知椭圆
中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
三点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)在直线
上任取一点
,连接
,分别与椭圆
交于
两点,判断直线
是否过定点?若是,求出该定点.若不是,请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：由于椭圆过两个不同的点，故可设椭圆方程为
，代入已知点的坐标，可以椭圆的方程.（2）的直线
均是过顶点的直线，故通过联立方程组可以得到
两点的坐标，再根据椭圆及其动点
的对称性可以知道定点如果存在，则必定在
轴上，猜出定点的坐标为
，最后利用斜率证明
三点共线.
（1）设椭圆方程为
， 将
代入椭圆方程得到
，计算得出
，所以椭圆方程为
.
（2）直线
，直线
，联立
得
，所以
，故
，代入
得到
，因此
.同理
.取
，
当
时， 
， 
，所以
三点共线；
当
时， 
， 
三点共线；
综上， 
三点共线也就是
过定点
.
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