题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若
在区间
上的最小值为
,求
的取值范围;
(Ⅲ)若对任意,有
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求导后求出f′(1),同时求出f(1),由点斜式写出切线方程;
(Ⅱ)求出函数的定义域,求出原函数的导函数,进一步求出导函数的零点
,分
和
三种情况讨论三种情况讨论原函数的单调性,由f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2求解
的取值范围;
(Ⅲ)构造辅助函数g(x)=f(x)+2x,问题转化为函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,求解的范围.把函数g(x)求导后分
=0和
≠0讨论,
≠0时借助于二次函数过定点及对称轴列式求解.
试题解析:
(1)由,则
,所以切线方程为
(2)
令
当时,
在
上单调递增,
当时,
在
上单调递减,
(舍)
当时,
在
上单调递减,
在
上单调递增,
(舍)
综上,
(3)令
令,只要
在
上单调递增即可.
在
上恒成立.
在
上恒成立.
当时,
恒成立;
当时,原不等式
当时,原不等式,左边无最大值,不合题意(舍)
综上, .
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