Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若$b-\frac{1}{2}c=acosC$
（1）求角A；
（2）若4（b+c）=3bc，$a=2\sqrt{3}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得：$sinB-\frac{1}{2}sinC=sinAcosC$，结合三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得$cosA=\frac{1}{2}$，结合A为内角，即可求A的值．
（2）由余弦定理及已知可解得：b+c=6，从而可求bc=8，根据三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：$sinB-\frac{1}{2}sinC=sinAcosC$…（2分）
又∵sinB=sin（A+C）
∴$sin（A+C）-\frac{1}{2}sinC=sinAcosC$
即 $cosAsinC=\frac{1}{2}sinC$…（4分）
又∵sinC≠0
∴$cosA=\frac{1}{2}$
又∵A是内角
∴A=60°…（6分）
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc…（8分）
∴（b+c）²-4（b+c）=12得：b+c=6
∴bc=8…（10分）
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×8×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．