Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），则该三角形的重心坐标为：．）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用线面角公式=即可得出；
（Ⅲ）不妨设OB=2，则分别表示出点A、B、C的坐标，再利用AB=BC==kPA即可表示出点P的坐标，利用重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标，若满足O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC，利用向量的数量积与垂直的关系即可得出k的值．
解答：（Ⅰ）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥PA．
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）如图所示距离空间直角坐标系．
当k=时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2，∴AP=，
∴OP=．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，），
∴，，．
设平面PBC的法向量为，
则即
令z=1，则=y．∴．
设直线PA与平面PBC所成的角为θ，
则==．
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC==kPA，∴，可得=．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，
），，．
设G（x，y，z）为△PBC的重心，则G．
假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC．
∴，即，又k＞0，解得k=1．
∴当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、线面角公式=、通过建立空间直角坐标系及重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标、线面垂直的性质定理、向量的数量积与垂直的关系是解题的关键．