Question

【题目】如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 最大值30

【解析】

（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．

解：(1) 解方程组得或

即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).

由,

直线的垂直平分线方程

令, 得, ∴

(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设

∵点P到直线OQ的距离d==,,

∴=.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.

∵函数在区间上单调递增,

∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30