题目内容
【题目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的极值；
（Ⅱ）若函数
的两个零点为
，记
，证明：
．
【答案】（Ⅰ）极大值为
，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在
上的单调性，然后可得当
时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设
，由题意可得
，即
，又由条件得
，构造
，令
，则
，利用导数可得
，故得
，又
，所以
．
详解：（Ⅰ）
，
，
由
得，
且当
时，
，即在
上单调递增，
当
时，
，即在
上单调递减，
∴当时，有极大值，且
，无极小值．
（Ⅱ）
函数的两个零点为，不妨设，
，
．
，
即，
又
，，
，
．
令，则
，
在
上单调递减，
故，
，
即，
又，
．
点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数，
）．以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为：
．
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点
，若
，求
的值．
【答案】（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）
或
.
【解析】分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，由
，得
，根据转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理得二次方程，然后根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义求得弦长
，进而可得或
．
详解：（Ⅰ）将
（
为参数，
）消去参数，整理得
，
∴直线
普通方程为．
∵，
∴，
将
代入上式，得，
∴曲线
的普通方程为．
（Ⅱ）将（为参数，）代入方程整理得：
，
显然
．
设
两点对应的参数分别为
，
则
，
∴
，
解得
又，
∴或．
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