题目内容
【题目】已知函数(
,
)的周期为
,图像的一个对称中心为
,将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像.
(1)求函数与
的解析式;
(2)是否存在,使得
,
,
按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定
的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数a与正整数n,使得在
内恰有2013个零点.
【答案】(1),
;(2)存在唯一的
(3)
,
【解析】
(1)根据已知的周期可以得到
,再根据函数的对称中心建立一个方程求得
(2)根据等差数列的条件,将问题转化为求解函数在区间内的取值范围问题,采用求导方法确定最值,从而判断是否存在满足条件的及存在的个数.
(3)由于是关于
,
的函数,所以它也是一个周期函数,所以可以考虑
在一个周期内的取值情况,这个问题采用换元法简化计算,令
,从而将
转化为关于
的一元二次函数,求解在一个范围内的
的取值范围,然后判断存在的零点个数,最后根据
的周期性可得在整个区间
范围内存在的总零点个数.
(1)函数(
,
)的周期为
,可得
,
又由该图像的一个对称中心为,故
,得
,所以,
,将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后,得到
的图像,再将
的图像向右平移
个单位长度后得到函数
,故函数
;
(2)当时,
,
,所以
,问题转化为方程
在
内是否有解,即
在
内是否有解,记
,
,因为
在
上大于0,所以,
在
递增,又因为
,
,且函数
的图像连续不断,所以存在唯一的
满足题意;
(3)令,现讨论函数
在
上零点的情况,设
,
,则函数
的图像是开口向下的抛物线,又
,
,
.
当时,函数
有一个零点
(另一个零点
,舍去),
在
上有两个零点
,
,且
;
当时,函数
有一个零点
(另一个零点
,舍去),
在
上有两个零点
,
,且
;
当时,函数
有一个零点
,另一个零点
,
在
和
内分别有两个零点
由正弦函数的周期性可知,当时,函数
在
内的零点个数总为偶数,从而不存在正整数
满足题意.
当时,函数
有一个零点
,另一个零点
;
当时,函数
有一个零点
,另一个零点
;
从而当或
时,函数
在
有三个零点,根据正弦函数的周期性,
,所以,依题意得
,
综上,当时,
或
时,
时,函数
在
内恰有2013个零点
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