题目内容

是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且
(1)求,的通项公式;
(2)记的前项和为,求证:
(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和,求证:

(1) (2)证法一:放缩法;
(2)证法二: 应用
(3)证法一:错位相减法;证法二:用数学归纳法证明。

解析试题分析:(1)设的公比为的公差为,则     2分
解得所以        5分
(2)证法一:由题意得                 6分
                8分
所以         9分
(2)证法二:由题意得              6分
,当
也成立,               8分
所以              9分
(3)证法一:由题意
  11分

以上两式相减得 13分
,所以             14分
证法二:用数学归纳法证明。
(1)当时,所以结论成立。       10分
(2)假设当时结论成立,即。       11分
时,
,所以当时也成立               13分
综合(1)、(2)知对任意都成立           14分
考点:本题主要考查等比数列的通项公式,“错位相减法”,数学归纳法。
点评:典型题,本题综合性较强,处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题,提供了“错位相减求和、放缩、证明”和“数学归纳法”等证明方法,能拓宽学生的视野。

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