题目内容
设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且,
(1)求,的通项公式;
(2)记的前项和为,求证:;
(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和,求证:.
(1) (2)证法一:放缩法;
(2)证法二: 应用
(3)证法一:错位相减法;证法二:用数学归纳法证明。
解析试题分析:(1)设的公比为的公差为,则 2分
解得所以 5分
(2)证法一:由题意得 6分
8分
所以 9分
(2)证法二:由题意得 6分
,当时
且也成立, 8分
所以 9分
(3)证法一:由题意
11分
令
以上两式相减得 13分
又,所以 14分
证法二:用数学归纳法证明。
(1)当时,所以结论成立。 10分
(2)假设当时结论成立,即。 11分
当时,
,所以当时也成立 13分
综合(1)、(2)知对任意都成立 14分
考点:本题主要考查等比数列的通项公式,“错位相减法”,数学归纳法。
点评:典型题,本题综合性较强,处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题,提供了“错位相减求和、放缩、证明”和“数学归纳法”等证明方法,能拓宽学生的视野。
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