Question

（本题满分13分）
已知点和互不相同的点，
满足，其中分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若为线段AB的中点。
（1）求的值；
（2）证明的公差为d =0，或的公比为q=1，点在同一直线上；
（3）若d 0，且q 1，点能否在同一直线上？证明你的结论

Answer 1

（1）
（2）证明略
（3）不在同一直线上，证明略

解：（1）为线段AB的中点，又，
且不共线，由平面向量的基本定理知。
（2）由，
设的公差为d,的公比为q，则由于互不相同，
d=0,q=1所以不会同时成立。
若d=0，则都在直线上；
若q=1，则都在直线上；
若d 0，且q 1，在同一直线上与
始终共线
即，这与q 1矛盾。
所以d 0，且q 1，不可能在同一直线上