题目内容
【题目】在直角坐标系中,过点
的直线与抛物线
相交于
,
两点,弦
的中点
的轨迹记为
.
(1)求的方程;
(2)已知直线与
相交于
,
两点.
(i)求的取值范围;
(ii)轴上是否存在点
,使得当
变动时,总有
?说明理由.
【答案】(1) ; (2) (i)
或
.(ii)见解析.
【解析】
(1)先设,
,
,根据
,以及题意,得到
,再由
,两式联立,即可得出结果;
(2)(i)先由题意得到方程组有两不同实数解,消去
,根据判别式,以及题中条件,列出不等式求解,即可得出结果;
(ii)假设存在是符合题意的点;设
,
,联立直线与曲线方程,根据韦达定理,得到
,
,计算
,只需
,即可得
.
(1)设,
,
,由题意可得:
,
则,从而
,
因为点为弦
的中点,所以
,即
,
又直线过点
,所以
,
则,即
,
而必在抛物线
的内部,从而
,即
.
故的方程为
.
(2)(i)因为直线与
相交于
,
两点,
所以方程组有两不同实数解,
由消去
,得
,
即在
上有两个不相等的实数根,
所以,只需且
,
即且
,解得:
或
.
所以的取值范围是
或
;
(ii)假设存在是符合题意的点;设
,
.
将消去
,得
,故
,
,
由(i)知:或
;
从而
,
因此,当,即
时,
,
又为坐标原点,所以
,
即存在点符合题意.

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