题目内容
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆,抛物线的焦点是的一个顶点,设是上的动点,且位于第一象限,记在点处的切线为.
(1)求的值和切线的方程(用表示)
(2)设与交于不同的两点,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)设与轴交于点,记的面积为,的面积为,求的最大值.
【答案】(1),切线方程为(2)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)的最大值为
【解析】
(1)根据椭圆的方程可求出过的定点,按照抛物线的标准方程即可求出的值;利用在点处的导数可求出直线的斜率,利用点斜式即可求出直线方程.(2)(i)利用点差法求出,写出直线OD的方程,代入,可求出为定值,即可证明. (ii)中,为底,点的横坐标为高,用表示三角形的面积,中,为底,到的距离为高,依然用表示三角形的面积,换元求最值即可.
解:(I)由题意可得,,所以抛物线的焦点F为,则,.
直线的斜率为,所以切线方程,利用化简可得:.
(2)(i)证明:设,
由点差法可得,,即有,
直线OD的方程为,当时,可得即有点M在定直线上;(ii)直线l的方程为,令,可得,
则,
则令,
则
当,即时,取得最大值
【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表:
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
(1)判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?
(2)已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中,有3位还比较喜欢“自然景观”景点,现在从20岁到40岁的10位市民中,选出3名,记选出喜欢“自然景观”景点的人数为,求的分布列、数学期望.
(参考公式:,其中)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |