题目内容
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
,抛物线
的焦点
是
的一个顶点,设
是
上的动点,且位于第一象限,记
在点
处的切线为
.
(1)求的值和切线
的方程(用
表示)
(2)设与
交于不同的两点
,线段
的中点为
,直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)设与
轴交于点
,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值.
【答案】(1),切线
方程为
(2)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)
的最大值为
【解析】
(1)根据椭圆的方程可求出过的定点,按照抛物线的标准方程即可求出的值;利用在点
处的导数可求出直线的斜率,利用点斜式即可求出直线方程.(2)(i)利用点差法求出
,写出直线OD的方程,代入
,可求出
为定值,即可证明. (ii)
中,
为底,
点的横坐标为高,用
表示三角形的面积,
中,
为底,
到
的距离为高,依然用
表示三角形的面积,换元求最值即可.
解:(I)由题意可得,
,所以抛物线的焦点F为
,则
,
.
直线的斜率为
,所以切线方程
,利用
化简可得:
.
(2)(i)证明:设,
由点差法可得,
,即有
,
直线OD的方程为,当
时,可得
即有点M在定直线
上;(ii)直线l的方程为
,令
,可得
,
则,
则令
,
则
当,即
时,
取得最大值
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表:
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
(1)判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?
(2)已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中,有3位还比较喜欢“自然景观”景点,现在从20岁到40岁的10位市民中,选出3名,记选出喜欢“自然景观”景点的人数为,求
的分布列、数学期望.
(参考公式:,其中
)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |