题目内容
【题目】数列的各项均为整数,满足:
,且
,其中
.
(1)若,写出所有满足条件的数列
;
(2)求的值;
(3)证明:.
【答案】(1);
;
;
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据得
并结合已知条件即可写出满足条件的数列
;
(2) ,利用反证法即可证出;
(3)先利用反证法证明,必有
,然后对此不等式中
赋
,可得
个不等式并将其累加,再利用等比数列求和公式化简后,再结合已知
即可证得结果.
(1)当时,
,又
,
,
故满足条件的数列为:
;
;
;
.
(2).
否则,假设,因为
,所以
.又
,因此有
,
这与矛盾,
所以.
(3)先证明如下结论:,必有
.
否则,假设,
注意左式是的的整数倍,因此
,
所以有
这与矛盾.
所以.
因此有
,
,
,
……
,
……
,
将上述个不等式相加得
,①
又,②
②-①得.
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