题目内容
【题目】数列
的各项均为整数，满足：
，且
，其中
．
（1）若
，写出所有满足条件的数列
；
（2）求
的值；
（3）证明：
．
【答案】（1）
；
；
；
；（2）
;（3）证明见解析．
【解析】
(1)根据
得
并结合已知条件即可写出满足条件的数列
；
(2) ，利用反证法即可证出；
(3)先利用反证法证明
，必有
，然后对此不等式中
赋
，可得
个不等式并将其累加，再利用等比数列求和公式化简后，再结合已知
即可证得结果．
(1)当时，，又
，
，
故满足条件的数列为：；；；．
(2)．
否则，假设
，因为，所以
．又
，因此有
，
这与矛盾，
所以．
(3)先证明如下结论：，必有．
否则，假设
，
注意左式是
的的整数倍，因此
，
所以有
这与矛盾．
所以．
因此有
，
，
，
……
，
……
，
将上述个不等式相加得
，①
又，②
②－①得
．
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