题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对于任意的,总存在
,使得
成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间
;单调递减区间是
,
,极小值
,极大值
;(2)
.
【解析】
(1)求导,根据导数的正负可得函数的单调性,进而得函数的极值.
(2)对于任意的,总存在
,使得
,显然
,故
,设
,
,上式等价于
,分类讨论求出
的取值范围.
(1)由已知,有.令
,解得
或
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
0 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
0 |
所以,的单调递增区间
;单调递减区间是
,
.
当时,
有极小值,且极小值
;
当时,
有极大值,且极大值
.
(2)由及(1)知,当
时,
;
当时,
.设集合
,
集合,
则“对于任意的,都存在
,
使得”等价于
,显然
.下面分三种情况讨论:
(i)当,即
时,由
可知,
,而
,
所以不是
的子集.
(ii)当,即
时,有
,
且此时在
上单调递减,故
,因而
.
由,有
在
上的取值范围包含
,则
,所以
.
(iii)当,即
时,有
,且此时
在
上单调递减,
故,
,所以
不是
的子集.
综上的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率;
(2)从被抽取的年龄在[50,70]使用的自由购顾客中,随机抽取2人进一步了解情况,求这2人年龄都在[50,60)的概率;
(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋?